立体几何中球的相切与相接问题剖析

心有所依模型适用圆锥、侧棱相等的棱锥等几何体,可得球心必在圆锥的高所在的直线上,或者在棱锥一个底面的高所在直线上,由此可把相关信息转嫁到某一个直角三角形内,利用勾股定理求解.

对于直棱柱,应用数学建模的素养,结合球与直棱柱的有关性质,建立“汉堡”模型,上下底面外接圆的圆心连线的中点即为球心,球心到各个顶点的距离都等于球的半径

具有三条棱两两垂直或三个平面两两垂直的特征,应用数学建模素养,构建“两两垂直垂直”模型,亦即“墙角”模型,如图所示,将三棱锥放入伴随长方体中,将棱锥的外接球转化为长方体的外接球,不用找出球心的具置,这是处理此类问题的简捷的途径.

有两个表面具有面面垂直的特征,属于“面面垂直”模型,此类问题的解决关键在于仔细观察、分析,弄清相关元素的几何关系和数量关系,选准最佳角度作出截面,使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系,达到空间问题平面化的目的

用坐标法求解,要善于借助于长方体.将几何体纳入长方体后,各个顶点的坐标容易求出,设出球心坐标,利用球心到球面上各顶点的距离都等于半径,求解球心坐标,进而求解问题.

由于“球”是“圆”在空间概念上的延伸,所以研究球的性质时,应注意与圆的性质类比.球的轴截面是大圆,它几乎含有球的全部元素,所以有关球的计算,往可以作出球的一个大圆,化“球”为“圆”来解决问题,把空间问题转化为平面问题

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